证明：cot(A/2)-3cot(3A/2)=4sinA/(1+2cosA)

第1步：将左边改写为一个分式，其中
分子：cos(A/2)sin(3A/2)-3cos(3A/2)sin(A/2)
= 1/2*(sin(2A) + sin(A)) - 3/2 * ( sin(2A) - sin(A))
= -sin(2A) + 2sin(A)
= 2 sin(A) * ( 1 - cos(A) )

分母：sin(A/2)sin(3A/2)
= 1/2 * (cosA - cos(2A))
= 1/2 * (cosA +1-2(cosA)^2)
= 1/2 * (1-cosA)(1+2cosA)

第2步：
分子/分母 = 4sin(A) / ( 1 + 2cosA )

证毕.

证明：
运用公式
sin3a=3sina-4sina^3
cos3a=4cosa^3-3cosa
设A/2=a
左边=cot(A/2)-3cot(3A/2)=cosa/sina-3*(4cosa^3-3cosa)/(3sina-4sina^3)
通分=(3cosa-4cosa*sina^2-12cosa^3+9cosa)/(3sina-4sina^3)
=(12cosa-4cosa*sina^2-12cosa^3)/[sina(3-4sina^2)]
=[12cosa(1-cosa^2)-4cosa*sina^2)/[sina(3-4sina^2)]
=(8cosa*sina^2)/[sina(3-4sina^2)]=8sina*cosa/(4cosa^2-1)
右边=8sinacosa/(4cosa^2-1)=左边

得证
注sina^2=(sina)^2,这里我方便就没写括号，你注意一下