求根号2为无理数

假设根号2是有理数
有理数可以写成两个整数相除
且经过有限次的约分后
分子分母互质，成为最简分数
假设根号2=p/q
p，q互质
则两边平方
2=p^2/q^2
p^2=2q^2
2q^2是偶数
所以p^2是偶数
所以p是偶数，p，q互质
所以q是奇数
设p=2m
(2m)^2=2q^2
4m^2=2q^2
q^2=2m^2
则q也是偶数，矛盾
所以假设错误
所以根号2是无理数

假设存在这样一个有理数p, p^2 = 2.
再设p = a/b， a、b是两正整数，且既约，就是没有除1外的共因子，使得(a/b)^2 = 2；
变形以后得a^2 = 2 * b^2，推出a^2是个偶数，同时为了满足a^2是个平方数，那b^2必须包含一个因子2，所以a^2 / b^2不是既约的，那a/b也不是既约的啦！与前提矛盾，证得单位正方形对角线长度不是有理数！

反证法。
若根号2是有理数，则可以写成既约分数根号2=m/n。
由m^2=2n^2,可知m是偶数，设m=2k,于是有n^2=2k^2,则n也为偶数，这与m/n是既约分数矛盾。
因此根号2为无理数。