a b c 是整数 求证

证明：假设a^3b - ab^3 不能被24整除，那么：
首先由：
a^3b-ab^3=ab(a+b)(a-b)可知，不论为a,b同时为奇数还是偶数，此式都能被8整除，因为都为偶数时，ab（a+b)是8的倍数，
都为奇数时，(a+b)(a-b)是8的倍数,这是因为：
设a=2m+1,b=2n+1,带入原式，得：
(a+b)(a-b)=(2m+2n+2)(2m-2n)
=4(m+n+1)(m-n)
当m,n都是奇数时，m-n是偶数，所以可以被8整除；
当m,n都是偶数时，m-n是偶数，所以可以被8整除；
当m,n一个是奇数一个是偶数时，m+n+1是偶数，所以也可以被8整除；
到这里，我们就证明了：只要a,b同奇偶性，a^3b-ab^3始终能被8整除。
依题，他不能被24整除，那么，他不能被3整除。
要满足这点，那么：a,b显然不能为3的倍数。那么：
当：a=3k+1时,b不论为：3x+1,还是：3x+2,始终都有a+b,或者a-b是3的倍数。
这样，我们就证明了，只要a,b同奇偶性，原式始终能被3整除。
综上，只要a,b同奇偶性，原式就能被24整除！
这样，要使三个式子同时不是24倍数，那么a,b和b,c和c,a都要不同奇偶性，这是不可能的！
因为若a为奇，那么b只能为偶，这样c只能为奇，这样就无法满足a,c不同奇偶了～
故命题得证！

首先证明形如a^3b - ab^3表达式，必能被三整除：
a^3b - ab^3=ab(a+b)(a-b)
如a、b其中之一能被3整除，则ab必能被三整除;
如a、b被3除如相同，(a-b)必能被三整除;
如a、b被3除如不同，(a+b)必能被三整除;
所以s必能被3整除。
其次，三个表达式必有一个能被8整除：
这由a、b、c的奇偶性来验证：
当其中至少有两个偶数时，结论显然成立；
当其中至少两个奇数时，不妨设a、b为奇数
它们被4除时余数为1、3