高数隐函数求偏导的一道题有答案

那个偏导符号打不出来，下面全部用d表示

首先题目给出的条件是
d(x,y)/d(u,v)
=dx(u,v)/du * dy(u,v)/dv - dx(u,v)/dv * dy(u,v)/du
≠0
其中x(u,v),y(u,v)是u,v的函数

答案中J那一步的意思是
J
= dF(x,y,u,v)/du * dG(x,y,u,v)/dv - dF(x,y,u,v)/dv * dG(x,y,u,v)/du
= dx(u,v)/du * dy(u,v)/dv - dx(u,v)/dv * dy(u,v)/du
≠ 0

这是因为
dF(x,y,u,v)/du
= d(x-x(u,v))/du
= dx/du - dx(u,v)/du
= -dx(u,v)/du
这里第一个dx/du为零是由于x,y,u,v是作为函数F的四个独立自变量，所以它们之间的偏导都是零。第二个dx(u,v)/du的x(u,v)是用u,v表示的函数，所以这个dx(u,v)/du等于之前上面x作为u,v的函数的dx(u,v)/du。
同理
dF(x,y,u,v)/dv = -dx(u,v)/dv
dG(x,y,u,v)/du = -dy(u,v)/du
dG(x,y,u,v)/dv = -dy(u,v)/dv
故
J
= dF(x,y,u,v)/du * dG(x,y,u,v)/dv - dF(x,y,u,v)/dv * dG(x,y,u,v)/du
= dx(u,v)/du * dy(u,v)/dv - dx(u,v)/dv * dy(u,v)/du

举一个例子：
令函数 x(u)≡u^2，F(x,u)≡x-u^2
则
dx(u)/du = 2u
dF(x,u)/du = -2u

这是隐函数存在定理3的内容，含有两个变量求隐函数的基本方法，详细推导可以见教材，教材讲解很简单易懂。如果是数学专业需要懂得证明过程，非专业可以记住形式就可以了，这是定理3应用