在矩形ABCD中,AB=3,BC=4,P是AD上一点(除端点A)

建立平面直角坐标系，使B为原点，则A为(0,3),C为(4,0),D为(4,3)，P为(3,3)。
第一问：设圆O的方程为 (x-a)^2+(y-b)^2=R^2，代入A,B,P的坐标，得(1)a^2+(3-b)^2=R^2 (2) a^2+b^2=R^2 (3) (3-a)^2+(3-b)^2=R^2 。由(1)式和(2)式，可得b=1.5，由(2)式和(3)式，可得9-6a+9-6b=0，所以a=1.5。将a=b=1.5代入(2)，得R^2=4.5 则圆方程为(x-1.5)^2+(y-1.5)^2=4.5。由坐标系可见，CD的方程是x=4(0<=y<=3)。将x=4代入圆的方程，得2.5^2+(y-1.5)^2=4.5，对于y无解，所以CD和圆没有交点，相离。
第二问：仍设圆O的方程为 (x-a)^2+(y-b)^2=R^2，代入A,B的坐标，得(1)a^2+(3-b)^2=R^2 (2) a^2+b^2=R^2 ，由此可得，a^2+(3-b)^2＝a^2+b^2，则b=1.5，因为圆O和CD相切，表示方程组(x-a)^2+(y-b)^2=R^2 与x=4(0<=y<=3)有且只有1个解，代入x=4,b=1.5，则(4-a)^2+(y-1.5)^2=R^2， 则(y-1.5)^2＝R^2-(4-a)^2。因为只有唯一解，所以R^2-(4-a)^2＝0, 得(4-a)^2=R^2。将此式代入(2)，得(4-a)^2＝a^2+b^2且b=1.5，于是可得a=55/32。代入(2)可得 R^2=(55/32)^2+1.5^2。则圆方程为(x-55/32)^2+(y-1.5)^2=(55/32)^2+1.5^2.设BC与圆的交点为P(z,0)，则(z,0)满足圆的方程，代入可得(z-55/32)^2+1.5^2=(55/32)^2+1.5^2，则z=0或z=55/16。于是P为(55/16,0)，于是BC被截弦长=z=55/16。