高数!a,b,c线性无关,求证a,a+b,a+b+c也线性无关

假设a,a+b,a+b+c线性相关
则存在不全为0的k1,k2,k3
使得:k1a + k2(a+b) + k3(a+b+c) = 0
则:(k1 + k2 + k3)a + (k2+k3)b + k3c = 0;
因为 a,b,c线性无关
则 k1+k2+k3=0
k2+k3=0
k3=0
由上面的方程组
可得： k1=k2=k3=0
这与k1,k2,k3 不全为0矛盾，所以a,a+b,a+b+c也线性无关

证明线性无关通常有两种方法.
MickeyWithXx 所说的是最经典的一种
我给你推荐一种简单好理解的:
a,b,c组成矩阵(a,b,c)
对这个矩阵进行列变换,把第一列加到第二列和第三列,再把第二列加到第三列上.那么由矩阵的运算可知,矩阵的秩不变.
即R(a,b,c)=R(a,a+b,a+b+c)=3
所以说a,a+b,a+b+c线性无关

假设a,a+b,a+b+c线性相关
则存在不全为0的k1,k2,k3
使得:k1a + k2(a+b) + k3(a+b+c) = 0
则:(k1 + k2 + k3)a + (k2+k3)b + k3c = 0;
则(k1 + k2 + k3),(k2+k3),k3也不全为0,
所以a,b,c也线性相关,矛盾.