求证：正方体的一条对角线垂直于任一个面的一条煜该对角线不共面的的面对角线

用三垂线定理即可证明.
三垂线定理:直线L在一平面上的射影为M(直线不在平面内),若平面内的直线N与直线M垂直.则N也与L垂直.

因为正方体的一条对角线在任一面的射影为该面的一条对角线.因为该面是正方形.正方形的对角线相互垂直.所以即对角线的射影与该面的一条与该对角线不共面的的面对角线相垂直.由三垂线定理可知.对角线和该面的一条与该对角线不共面的的面对角线相垂直.

光用文字叙述好像很复杂.其实你把图画出来看就会明白的了.
谢谢.