四个面均为全等的正三角形的三棱锥的内切球与外切球的体积之比

1:8,

推导见下：

设正三棱锥的边长为a，找出正四面体的重心，重心到顶点的距离为外接圆半径，重心到面的距离为内接圆半径。

过顶点A做对应平面的垂线AE，垂足为点E，连接BE，在等边三角形BCD中易得BE=3分之根号3a，再在直角三角形ABE中，设重心为点F，连接BF。现在就易得AF=9分之二根号6a，EF=9分之一根号6a.

即：内接球半径等于9分之二根号6a，外接球半径等于EF=9分之一根号6a.

内接球半径与外接球半径的比值为1：2，所以显然体积之比为1：8.

1比8