寻找高手证明不等式 ln(1+1/x)>1/1+x 要详细步骤 谢谢…

ln(1+1/x)>1/1+x
(1+X)ln(1+1/x)>1
ln(1+1/x)的(x+1)次方〉10
(（1+x）/x)的(x+1)次方〉10
（1+x）的(x+1)次方>10x的(x+1)次方--
设1+x=a
a的a次方>10((a-1)的a次方)
a>=10

题目未给x的范围，但估计是 在x ∈（0，+∞) 时

证明：令 1/x = t，
则x∈（0，+∞) 变换为 t∈(0，+∞)

那要证明的不等式变换为
ln(1+t) > t/(1+t) ,t∈(0，+∞)
令f(t) = ln(1+t) - t/(1+t)
注意到f(t)在[0，+∞)上连续，在(0，+∞)上可导。

则 f(0) = 0
f'(s) = s/(1+s)^2 > 0，对于 s∈(0，+∞)
由微分终值定理,对于任意t∈(0，+∞)
f(t) - f(0) = f'(s)(t-0),其中 s∈(0，t)
即f(t) = t f'(s) > 0

则 ln(1+t) > t/(1+t)
原命题得证。

天