一道数学题！导数！急！！

来源：百度知道 编辑：UC知道 时间：2024/06/04 03:59:11
一直落在地面的一处烟尘浓度与这点到烟囱的距离的平方成反比，与烟囱喷出的烟尘量成正比，现有A,B两座相距20km的烟囱，B喷出的烟尘量是A的8倍，是在A,B连线上，求出烟尘量最低的一点C。

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Xa = 1/r^2
Xb = 8/(20-r)^2

X = Xa + Xb = 1/r^2 + 8/(20-r)^2
X 代表烟尘量, 是 r 的函数.r表示与A之间的距离

对函数 X(r) 求导
X'(r) = -2/r^3 + 16/(20-r)^3

令 X'(r) = 0 求极值点
0 = -2/r^3 + 16/(20-r)^3
2/r^3 = 16/(20-r)^3
1/r^3 = 8/(20-r)^3
1/r = 2/(20-r)
2r = 20 - r
3r = 20
r = 20/3

与 A 相距 6.67 km处, 烟尘量最低

解：设B喷出的烟尘量为y，则A喷出的烟尘量为8y，设c点到A的距离为xkm，则c到B的距离为（20-x）km
c点的烟尘浓度w=k【8y/x+y/(20-x)】， k，y为常数
对w求导的w'=ky【-8/x2+/(20-x)2】
定w’=o
解得x=14.77km