证明:设I为三角形ABC内一点,I为三角形ABC内心的充要条件,角BIC=90度+二分之一角A,角AIC=90度+二分之一角B

来源：百度知道 编辑：UC知道 时间：2024/05/05 19:30:09
要详细证明,要两方面证明,既以 设I为三角形ABC内一点,I为三角形ABC内心 为条件 先证 角BIC=90度+二分之一角A,角AIC=90度+二分之一角B
再以角BIC=90度+二分之一角A,角AIC=90度+二分之一角B 为条件,证明设I为三角形ABC内一点,I为三角形ABC内心.

同一法是解决充要性命题的常用方法
解:(1)已知因为I是三角形ABC的内心,
所以角BIC=角ABI+角ACI+角BAC=1/2角B+1/2角C+角A=90度-1/2角A+角A=90度+1/2角A 角AIC=90度+1/2角B同理可证
(2)已知角BIC=90度+二分之一角A,角AIC=90度+二分之一角B
假设I不是三角形ABC的内心,不妨设内心为点T则做三角形BCT外接圆
因为角BIC=角BTC=90度+1/2角A(由(1)可知)
又根据圆的集合性意义可知点I在圆弧BTC上,即在三角形BCT外接圆上
同理可知点I在三角形ACT外接圆上
所以I是三角形BCT外接圆与三角形ACT外接圆的交点
因为A,T也是I是三角形BCT外接圆与三角形ACT外接圆的交点
所以与两圆最多有两个交点矛盾,所以I与T是同一点为内心,得证
希望我的回答对您有所帮助

证明：（I）：已知I为三角形ABC内心，则I为角分线交点
因为：角A+角B+角C=180度，角BIC+1/2角B+1/2角C=180度
所以：角BIC=角A+1/2角B+1/2角C
而：1/2角A+1/2角B+1/2角C=90度
所以：角BIC=90度+1/2角A
同理可得：角AIC=90度+1/2角B
（II）：已知角BIC=90度+1/2角A，角AIC=90度+1/2角B
因为：角AIB+角ABI+角BAI=180度，角BIC+角AIC=360度-角AIB
所以：角ABI+角BAI=1/2角B+1/2角A
只要证明角ABI=1/2角B或角BAI=1/2角A即可

只会第一步