过点A(1,2)且与点M(2,3)N(4,-5)距离相等的直线的方程

上面的答题方法不错，但都漏掉另一个方面。
过A点与M ; N点距离相等的直线有两条，一条是MN的垂直平分线 ；另一条是过A点平行于 MN的直线。
由坐标可看出，MN垂直平分线不可能过A点，也可验证。
所以只有MN的平行线了，知道M , N坐标，可求得过MN 的方程为
y=-4x+11
平行线，K值相等，所过A点的方程设为
y=-4x+b 将A点坐标代入求得
y=-4x+6

假设直线方程：y-2=k(x-1)
化简：kx-y+2-k=0

点M(2,3)到直线距离：
｜2k-3+2-k｜/根（1+k^2)=｜k-1｜/根（1+k^2)；

N(4,-5)距离：
｜4k+5+2-k｜/根（1+k^2)=｜3k+7｜/根（1+k^2)；

距离相等：｜k-1｜=｜3k+7｜
k=-4或者-3/2

直线方程：y-2=-4(x-1)或者y-2=-3/2(x-1）
即：y=-4x+6或者2y=-3x-7

与MN距离相等的直线是MN的垂直平分线
则MN斜率=(-5-3)/(4-2)=-4
则垂直平分线斜率=1/4
MN中点(3,-1)
所以y+1=(1/4)(x-3)
x=1时，y+1=(-2)/4=-1/2,y=1/2不等于2
所以这样的直线不存在

与点M(2,3)N(4,-5)距离相等,所以直线过MN中点，设MN中点为P
P=[(2+4)/2,(3-5)/2]=(3,-1)
所以直线过A,P
根据直线的两点式
(y-2)/(-1-2)=(x-1)/(4-1)
化简得3X+2Y-7=0

设直线方程为y=kx+b 直线过点A(1,2) 所以b=-k+2 所以方程可化为y=kx-k+2
2k-3-k+2的绝对值/根号下k的平方+1等于4k+5-k+2/根号下k的平方+1 所以 k-1的绝对值等于3k+7的绝对值
所以k=-2或k=-3/2