矩形的面积 为什么是底乘高？

显然，这是几何上的一个基本性问题，
这个问题我想应该从根本上进行解释，而不是循环论证。
我认为：
作为面积是从日常现象中归纳总结出来的，是人们对于面积的感性认识的升华： 我们先解释面积的函数s=f(a,b)
至少有以下感性认识是可以理解的：
（1）长和宽对于面积来说具有等同的地位，它们的互换不改变面积大小
s=f(b,a) (1)
（2）固定1边，如果长增加1倍，相应的面积也增加1倍，当然了可以推广增加r倍面积增加r倍，显然这是合理的
s=f(a,b)=f(r*a,b)/r (2)
（3）关于a,b该函数是可微的，这个也很合理

好了，我们现在来考察
s=f(a,b)这个函数,并将x代替a
我们先固定b不动总可以令
s=f(x,b)=g(x)
根据(2)可以得到
g(x)=g(rx)/r
两边同时求导
g'(x)=g'(rx)=>g'(x)=常数
所以g(x)=k*x
f(a,b)=k*a
同理f(a,b)=k'*b
所以f(a,b)=h*a*b，其中h为常数
显然，为了简单期间，我们总可以规定h=1
从而s=a*b
其实，第三个假设，我想古人可以通过穷竭法的思想去做，

首先要明白什么叫面积？现行小学教材是这样定义的：“物体的表面或围成的平面图形的大小，叫做它们的面积。”(人民教育出版社小学数学室编著2001年12月版《数学》第七册第92页)。
定义中的“平面图形”这一概念因对“图形”的内涵作了“平面”的限定而使它的外延变小，包容不够。比如，对于一个国家而言，它的面积是用边界线在地球这一球形“物体的表面”“围成”的具有一定大小的一个图形，但它不是“平面”的；一个圆柱体，它的侧面只有当展开时才是“平面”，其自身状态则是曲面。由此可见，面积“是用以度量平面或曲面上一块区域大小”的量(见上海辞书出版社1989年版《辞海》第5302页)，它并不仅局限于“平面图形”。
为了避免局限与歧义，我以为面积可浅显定义为“物体的表面或围成的图形表