几个有关向量的数学题

来源：百度知道 编辑：UC知道 时间：2024/05/20 06:21:19
1.给定8个非零实数a1.a2.a3…a8. 证明：下面6个实数：a1*a3+a2*a4.
a1*a5+a2*a6. a1*a7+a2*a8. a3*a5+a4*a6. a3*a7+a4*a8. a5*a7+a6*a8. 中，至少有一个数为非负实数。

2.证明：从任意4个不同实数中可以取出两个数a,b
使得1+ab > (1/2)* SQR((1+a^2)(1+b^2))

1.随意选取四个向量a(a1,a2),b(a3,a4),c(a5,a6),d(a7,a8)
则题中所给实数分别是a·b,a·c,a·d,b·c,b·d,c·d
设其中三个向量相互夹角均大于90度
而向量夹角始终小于180度
可把这三个向量平移到一个共同顶点

由图可知,第四个向量无论朝哪个方向
,与该方向两个向量夹角和始终不大于180度
由反证法知
第四个向量至少与其中一个向量夹角不大于90度
就是至少两个向量夹角不大于90度
也即至少两个向量点积不小于0
原命题成立

2.在x=1上取任意四个点A(1,a),B(1,b),C(1,c),D(1,d),E(1,e)
取两个向量OA(1,a),OB(1,b)
则原式可写为OA·OB > 1/2 |OA||OB|
因OA·OB = |OA||OB|cos(OA^OB)
故须cos(OA^OB)>1/2
即(OA^OB)<60度

假设0E,OC和OE,OD之间夹角均大于60度,
则由图可知OE,OC和OE,OD夹角小于90度,OC,OD夹角小于180度,大于120度
则OB无论朝哪个方向
与该方向两个向量夹角和均小于90度
由反证法知
则OB肯定与其中一个向量的夹角小于60度
将该向量命名为OA
则(OA^OB)<60度
原命题成立