在三角形ABC中,三边长A.B.C成等差数列,试问这个三角形至少有几个角不大于60

您好：
当公差为0时，
这三边相等。所以三个角都是60°。
当公差不为0时，三个角大小肯定不相等，首先三个角不能够都大于60°，也不能都小于60°，所以最小角A一定小于60°，最大角C一定大于60°，只要再比较B与60°的关系就可以了。
由余弦定理，得
cosB
=(a^2+c^2-b^2)/(2ac)
因为2b=a+c，带入得
cosB
=(3a^2+3c^2-2ac)/(8ac)
=(3/8)(a/c+c/a)-(1/4)
≥3/4-1/4
=1/2。
当且仅当a/c=c/a时取等号，而a<c，所以不能取等号，所以
cosB>1/2，
所以∠B<60°，
即至少有两个角要不大于60°。
谢谢！

解：因为a,b,c成等差数列，即a+c=2b,即b=(a+c)/2.....(1)
则由余弦定理得，cosB=(a^2+c^2-b^2)/2ac......(2)
将（1）代入（2）得cosB=(3/4(a^2+c^2)-1/2ac)/2ac
再利用基本不等式a^2+c^2>=2ac可得
cosB>=1/2,所以0<B<=60度
则这个三角形至少有1个角不大于60