a,b,c是三角形ABC三边长

来源：百度知道 编辑：UC知道 时间：2024/05/14 07:34:41
a,b,c是三角形ABC三边长,求证：a/(b+c-a)+b/(a+c-b)+c/(a+b-c)>=(b+c-a)/a+(a+c-b)/b+(a+b-c)/c.

设B+C-A=X， A+C-B=Y， A+B-C=Z
则A=（Y+Z）/2，B=（X+Z）/2。C=（X+Y）/2
原式左边=（Y+Z）/2X+（X+Z）/2Y+（X+Y）/2Z=
1/2[（Y/X+X/Y）+（Z/X+X/Z）+（Y/Z+Z/Y）]>=
1/2(2+2+2)=3(千万不要说你不知道柯西不等式）

a2+2b2=c2...

与这个思路差不多：

由柯西不等式的变式
a/(b+c-a)+b/(a+c-b)+c/(a+b-c)

=a^2/a(b+c-a)+b^2/b(a+c-b)+c^2/c(a+b-c)

>=(a+b+c)^2/[a(b+c-a)+b(a+c-b)+c(a+b-c)]

=(a+b+c)^2/[2(ab+bc+ca)-(a^2+b^2+c^2)]

=(a+b+c)^2/{(ab+bc+ca)-[(a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2)]/2}

>=(a+b+c)^2/(ab+bc+ca)

>=3

由基本不等式，得

a/(b+c-a)+b/(a+c-b)+c/(a+b-c)

>=3[abc/(b+c-a)(a+c-b)(a+b-c)]^(1/3) (1)

下面证:abc/(b+c-a)(a+c-b)(a+b-c)>=1

即 abc>=(b+c-a)(a+c-b)(a+b-c) (2)

因为 a^2>=a^2-(b-c)^2=(a+b-c)(a-b+c),

同理 b^2>=(b+c-a)(b-c+a),c^2>=(c+a-b)(c-a+b),

上面三式相乘后再开方,即得(2).

由(1)、(2)得

a/(b+c-a)+b/(a+c-b)+c/(a+b-c) >=3．