请教两道群论的问题（比较急）

来源：百度知道 编辑：UC知道 时间：2024/05/21 06:51:56
1 如果G是一个有限群且元素个数为偶数，则G中至少有一个2阶元
2 如果G中有且只有一个2阶元g，那么对任意a属于G，都有a*g=g*a.
请群论比较好的朋友帮帮忙 谢谢

根据Sylow第一定理：G是有限群，p是素数，如果p^k||G|，k>=0，那么G中一定有一个阶为p^k的子群。
定理中令p=2，k=1，则G有一个2阶子群，所以G中一定有2阶元。

如果g是唯一的二阶元即g^2=e，那么对于任意a属于G，考虑a*g*a^-1：
(aga^-1)(aga^-1)=ag(a^-1a)ga^-1=a(g^2)a^-1=e
所以aga^-1是二阶元。
但是二阶元只有一个，所以aga^-1=g。
因此ag=ga。