如图,ABCD是正方形，延长边BC到E，AE

设∠QEC=∠DAQ=φ,正方形ABCD边长为x，又设AP=QE=1,
则，CQ=sinφ,CE=cosφ,
由直角三角形ABE，得，AE=x/sinφ,
由直角三角形ADQ，得，AE=AQ+QE=x/cosφ+1,
所以x/sinφ=x/cosφ+1，
得，x=sinφ/(1-tanφ),
所以，AE=x/sinφ=1/(1-tanφ)
PQ=AE-2=1/(1-tanφ)-2=(2tanφ-1)/(1-tanφ)
PQ/AE=2tanφ-1 ①

又因为△APB∽△QPD
所以，PQ/DQ=AP/AB
即PQ/(xtanφ)=1/x
PQ=tanφ
所以，PQ/AE=tanφ/(tanφ+2) ②

联立①，②两式，得
2tanφ-1=tanφ/(tanφ+2)
解得，tanφ=（根号5-1）/2 (舍去负解）
所以PQ/AE=2tanφ-1=根号5-2

1 : 根号5(大约1 : 2.2360679)

具体过程要画辅助线证明.我这里没法贴图,讲起来有点麻烦.