已知X*2+4Y*2+kZ*2=36,(其中k>0)且t=x+y+z的最大值是7,则k等于多少?

由柯西不等式得：
t²=(x+y+z)²=(x*1+√2y*(1/√2)+√kz*(1/√k))²
≤(x²+2y²+kz²)(1+1/2+1/k)=49
所以(x²+2y²+kz²)(1+1/2+1/k)=49
(1+1/2+1/k)=49/36
解得:k=36/5
楼主看答案对吗？

yidongyue321 的在方法是对的，答案是36，不是36/5

由柯西不等式得：
t²=(x+y+z)²=(x*1+√2y*(1/√2)+√kz*(1/√k))²
≤(x²+2y²+kz²)(1+1/2+1/k)=36（1+1/2+1/k）
也就是说t的最大值是6√（1+1/2+1/k）
所以6√（1+1/2+1/k)=7
1+1/2+1/k=49/36
解得:k=36

解：原方程满足椭球面标准式
F（x,y,z）=x^2/36+y^2/9+z^2/(36/k)=1 (1)
t=x+y+z方程表示平面与椭球相切时，t取得极值，
当切点在第一卦限时，t取得最大值
G（x，y，z）=(F-t)是关于x，y，z的函数，对x，y分别求偏导都等于零
得到：x/18+2y/9+kz/18-3=0 (2)
又因为此时：x+y+z=7 (3)
联立方程1、2、3，解得：

由柯西不等式得：
t²=(x+y+z)²=(x*1+2y*(1/2)+√kz*(1/√k))²
≤(x²+4y²+kz²)(1+1/4+1/k)=36（1+1/4+1/k）
也就是说t的最大值是6√（1+1/4+1/k）
所以6√（1+1/4+1/k)=7
1+1/4+1/k=49