一道实数问题,20分

瓶内装了一些水，我们假设睡并未达到瓶颈处，瓶子除瓶颈以外其它部分半径相等。

设瓶内水的体积为V，瓶内空余部分体积为V1，
则有： V + V1 = 1L(瓶内总容积)

再设瓶身部分内半径为R，圆柱形杯子内底面半径为r
则有： V / Pi*R*R = 2（瓶子正放时，水高度未2分米)
V1 / Pi*R*R = 0.5(倒放时，空余部分高度未0.5分米)
由以上这三个方程就可以解水的体积V:
V = 0.8L
然后再看圆柱形水杯内：
V / Pi*r*r = 1（圆柱形水杯内水面高1分米）
由此方程就可解出圆柱形水杯的内底面积r:
r = 5.05厘米
(注意：1.在这里的表达中，犹豫圆周率的符号不好找，所以就直接以Pi代之了；
2.犹豫容积单位1升就等于1立方分米，故而我将长度单位换算成分米来计算，方便一些。）

我的答案是假设当瓶内溶液的高度为20厘米时，并未到达瓶颈部分
设瓶子的圆柱部分的横截面积为a，溶液的体积为v，圆柱形杯子的内底面半径为r，则可得：
v=20a，5a+v=1000 cm^3 =5a+20a=25a
所以 a=40 cm^2
所以 v=800 cm^3=10*2лr^2
推出 r=3.57cm

设瓶子的底面半径为R分米,则:
1-0.5πR^2=2πR^2
R=√(2/5π)
瓶子内溶液的体积=2π[√(2/5π)]^2=4/5(升)
设杯子的半径为X分米,则:
πX^2=4/5
X=2/√(5π)(分米)=0.505分米=5.05厘米

用800除以3.14的平方根，自己算一下

瓶内溶液的高度为20厘米(h1)(此部分为溶液体积)
倒放时空余部分的高度为5厘米(h2)(此部分为余下体积)
瓶子非瓶颈部分底面积s
则v1=s*h1 v2=s*h2
瓶子的容积V=v1+v2=s*h1