怎么证明√2是无理数?

例子：证明根号2是无理数：

证明：若根号2是有理数，则设它等于m/n（m、n为不为零的整数，m、n互质）

所以 （m/n）^2=根号2 ^2 =2
所以 m^2/n^2=2
所以 m^2=2*n^2
所以 m^2是偶数，设m=2k（k是整数）
所以 m^2=4k^2=2n^2
所以 n^2=2k^2
所以 n是偶数
因为 m、n互质
所以 矛盾
所以 根号2不是有理数，它是无理数

下面是毕达哥拉斯提出的证明方法：

假定√2是有理数，即√2 = p/q，在这里p和q是没有公约数的正整数（没有除1以外的其它正整数公因子），于是 p = √2q ，或p2 = 2q2因为p2是个整数的2倍，可知p2是个偶数，从而p必定是偶数。令p=2r，于是前面的等式成为4r2=2q2，或q2=2r2，可知q2是个偶数，从而q必定是偶数。由于p、q都是偶数，它们有一个公约数2，这与最初的假设p,q是没有公约数的正整数相矛盾。于是，由√2是有理数的假定引出了不可能的情况，因而这个假定必然是不对的。

这个证明是数学史上最早的一个技巧高超的证明，用的是反证法。相传，毕达哥拉斯对这个证明结果非常珍惜，不打算公开公布这个结果。他的一个学生为了好奇，悄悄走到老师家里偷出了文件，这个证明方法才被公开出来。从而引起了科学界的第一次数学危机。