已知函数f(x)的图象与函数h(x)=x+(1/x)+2的图象关于点A(0,1)对称。
来源:百度知道 编辑:UC知道 时间:2024/06/05 03:00:06
已知函数f(x)的图象与函数h(x)=x+(1/x)+2的图象关于点A(0,1)对称。
(1)求f(x)的解析式
(2)若g(x)=f(x)+a/x,且g(x)在区间(0,2]上为减函数,求实数a的取值范围。
(1)求f(x)的解析式
(2)若g(x)=f(x)+a/x,且g(x)在区间(0,2]上为减函数,求实数a的取值范围。
任意一点 (x, y ) 关于 A(0,1) 的对称点为 (x', y')。则
(x + x')/2 = 0
(y + y')/2 = 1
所以
x' = -x
y' = 2-y
f(x) 与 h(x) 关于 点 A(0,1)对称,所以
h(x)=x+(1/x)+2
f(x') = 2-h(x) = -x - (1/x) = x' + (1/x')
因此
f(x) = x + 1/x
例如: h(1) = 4 ,f(-1) = -2
(1,4) 和 (-1,-2) 关于 (0,1) 对称
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g(x) = f(x) + a/x = x + (1/x) + a/x
= x + (1+a)/x
= x + (b/x)
你是否学过导数呢? 如果学过的话,求导
g'(x) = 1 - b/x^2
在 (0, 2] 上减函数 , 则
g'(x) < 0 当 0<x<2 时
显然 若 b ≤0 , g'(x) 恒大于0。
因此 b > 0
在 b > 0 的限制下,为保证 在 (0,2]上 g'(x) < 0 恒成立,则
g'(2) ≤ 0
1 - b/4 ≤ 0
b ≥ 4
b = 1+a
因此 a ≥ 3
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如果你没学过导数,那么
g(x) = x + b/x
设 0 < x1 < x2 ≤ 2
g(x2) - g(x1) < 0
x2 - x1 + b(1/x2 - 1/x1) < 0
(x2 - x1)*[ 1 - b/(x2*x1)] < 0
1 -
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