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来源：百度知道 编辑：UC知道 时间：2024/05/30 11:57:05
设函数f（x)是实数集R上的增函数,令F(x)=f(x)-f(2-x)
(1) 求证:F(x)在R上递增.
(2)若F(x1)+F(x2)>0,求证x1+x2>2.

1,因为f(x)为实数集R上的增函数，
所以f(-x)为实数集R上的减函数，
所以f(2-x)为实数集R上的减函数，
所以-f(2-x)为实数集R上的增函数，
又因为两个增函数的和仍为增函数
所以F(x)=f(x)-f(2-x)在R上递增

2,因为F(x1)+F(x2)>0
所以F(x1)>-F(x2)
即f(x1)-f(2-x1)>-[f(x2)-f(2-x2)]
即f(x1)-f(2-x1)>f(2-x2)-f(x2)
即f(x1)-f(2-x1)>f(2-x2)-f[2-(2-x2)]
又不等式左边等于F(x1)，右边等于F(2-x2)
所以有F(x1)>F(2-x2)
又F(x)在R上递增
所以x1>2-x2
即x1+x2>2

1,设x1,x2为R的实数，且x1>x2可知
由F(x)=f(x)-f(2-x) 得
F(x1)=f(x1)-f(2-x1)
F(x2)=f(x2)-f(2-x2)
则有
F(x1)-F(x2)=f(x1)-f(2-x1)-f(x2)+f(2-x2)
由于函数递增
所以f(x1)-f(x2）>0且f(2-x1)-f(2-x2)>0
所以F(x1)-F(x2)>0
故：F(x)在R上递增