高三数学归纳法

数学归纳法（Mathematical Induction，通常简称为MI）是一种数学证明方法，通常被用于证明某个给定命题在整个（或者局部）自然数范围内成立。除了自然数以外，广义上的数学归纳法也可以用于证明一般良基结构，例如：集合论中的树。这种广义的数学归纳法应用于数学逻辑和计算机科学领域，称作结构归纳法。虽然数学归纳法名字中有“归纳”，但是数学归纳法并不是不严谨的归纳推理法，它是属于完全严谨的演绎推理法。

第一数学归纳法
　　一般地，证明一个与自然数n有关的命题P(n），有如下步骤：
　　（1）证明当n取第一个值n0时命题成立。n0对于一般数列取值为0或1，但也有特殊情况；
　　（2）假设当n=k（ k≥n0，k为自然数）时命题成立，证明当n=k+1时命题也成立。
　　综合（1）（2），对一切自然数n（≥n0），命题P(n）都成立。

第二数学归纳法
　　对于某个与自然数有关的命题P(n），
　　（1）验证n=n0时P(n）成立；
　　（2）假设n0≤n<=k时P(n）成立，并在此基础上，推出P(k+1）成立。
　　综合（1）（2），对一切自然数n（≥n0），命题P(n）都成立。

倒推归纳法（反向归纳法）
　　（1）验证对于无穷多个自然数n命题P(n）成立（无穷多个自然数可以是一个无穷数列中的数，如对于算术几何不等式的证明，可以是2^k，k≥1）；
　　（2）假设P(k+1）（k≥n0）成立，并在此基础上，推出P(k）成立，
　　综合（1）（2），对一切自然数n（≥n0），命题P(n）都成立；

螺旋式归纳法
　　对两个与自然数有关的命题P(n），Q(n），
　　（1）验证n=n0时P(n）成立；
　　（2）假设P(k）（k>n0）成立，能推出Q(k）成立，假设 Q(k）成立，能推出 P(k+1）成立；
　　综合（1）（2），对一切自然数n（≥n0），P(n），Q(n）都成立。

当n=1时，左边=31，能被31整除
设n=k,k属于N，时，左边能被31整除，即1+2+2^2+....+2^(5k-