不等式,请帮忙

来源：百度知道 编辑：UC知道 时间：2024/06/01 12:32:14
已知x\y\z为正数,且xyz(x+y+z)=1,求(x+y)(y+z)的最小值
请写出过程

法1
xyz＊(x+y+z)=1
设三角形ABD的内切圆切BC，AC，AB于D，E，F
AE=AF＝x
BF=BD＝y
CD=CE＝z
x+z＝AC＝b
x+y＝AB＝c
y+z＝BC＝a
a+b+c=2p
海伦公式
[S(ABC)]^2=p(p-a)(p-b)(p-c)
=(x+y+z)xyz=1
(x+y)(x+z)＝bc=2S(ABC)/sin角A=2/sinA>=2

法2
因为 xyz* (x+y+z)=1
所以 x2yz+y2xz+z2xy=1
所以 (x+y)(x+z)=(x2+xy+xz)+yz=1/yz + yz≥2
当且仅当 yz=1 时取等.