高一数学题求正解

2f[(x1+x2)/2]-[f(x1)+f(x2)]
=f{[(x1+x2)/2]^2/(x1*x2)}
=f[(x1^2+2x1x2+x2^2)/4x1x2]
=f(x1/4x2+x2/4x1+1/2)
因为x1/4x2+x2/4x1≥2√x1/4x2*x2/4x1=1/2
所以x1/4x2+x2/4x1+1/2≥1
因为f(x)为单调递减函数
所以f(x1/4x2+x2/4x1+1/2)≤f(1)=0
即2f[(x1+x2)/2]-[f(x1)+f(x2)]≤0
1/2[f(x1)+f(x2)]≥f[(x1+x2)/2]
x1≠x2,所以等号取不到，所以
1/2[f(x1)+f(x2)]＞f[(x1+x2)/2]

提示：这个函数挺像一个对数函数的。

1．证明:
设X2＞X1＞0，则X2／X1＞1
f(X2／X1)=f(x2)-f(x1)＜0
f(x2)＜f(x1)
因为X2＞X1，所以f(x)为单调递减函数.

2．因为f(x)在定义域内为单调递减函数
所以f(x)为凹函数
由图象得1/2[f(x1)+f(x2)]＞f[(x1+x2)/2]

2f[(x1+x2)/2]-[f(x1)+f(x2)]
=f[(x1+x2)/2]-f(x1)-{f(x2)-f[(x1+x2)/2]}
=f[(x1+x2)/(2x1)]-f[2x2/(x1+x2)]
=f{[(x1+x2)/2]^2/(x1*x2)}
=f[(x1+x2)^2/(4x1*x2)]
因为
x1^2+x2^2>2x1*x2 (x1≠x2,不取=号)
所以
(x1+x2)^2>4x1*x2
所以
(x1+x2)^2/(4x1*x2)>1
所以
f[(x1+x2)^2/(4x1*x2)]<0
所以
1/2[f(x1)+f(x2)]＞f[(x1+x2)/2]

这是我自己的解法，你可以参考参考