数学集合和元素的全部问题

1.集合运算中一定要分清代表元的含义。
[举例]已知集合P={y|y=x2，x∈R}， Q={y|y＝2x，x∈R}求P∩Q。
解析：集合P、Q均为函数值域（不要误以为是函数图象，{（x,y）| y=x2，x∈R}才表示函数图象），P=[0，+ ，Q=（0，+ ，P∩Q=Q。
[提高]A={x｜y=3x+1,y∈Z},B={y｜y=3x+1,x∈Z},求A∩B。
2.空集是任何集合的子集，空集是任何非空集合的真子集。
[举例]若A={x|x2<a} B={x|x＞2}且A∩B=Φ，求a的范围（注意A有可能为Φ）。
解析：当a>0时，集A=（- ， ），要使A∩B=Φ，则 ≤2，得0<a≤4,
当a≤0时，A=Φ，此时A∩B=Φ，综上：a≤4（A=Φ的情况很容易疏漏！）
[巩固]若A={x∣ax=1},B={x∣x2=1}且B∩A=A，求a的所有可能的值的集合。
[关注]A∩B=A等价于A B
3.充要条件可利用集合包含思想判定：若A B，则A是B充分条件；若A B，则A是B必要条件；若A B且A B即A=B，则A是B充要条件。换言之：由A B则称A是B的充分条件，此时B是A的必要条件；由B A则称B是A的充分条件，此时A是B的必要条件。有时利用原命题与逆否命题等价，“逆命题”与“否命题”等价转换去判定也很方便。
充要条件的问题要十分细心地去辨析：“哪个命题”是“哪个命题”的充分（必要）条件；注意区分：“甲是乙的充分条件（甲 乙）”与“甲的充分条件是乙（乙 甲）”。
[举例] 若非空集合 ，则“ 或 ”是“ ”的 （ ）
（A）充分非必要条件 （B）必要非充分条件 （C）充要条件 （D）既非充分又非必要条件
解析：命题“ 或 ”等价于“ ∈ ”，显然 是 的真子集，
∴“ 或 ” 是“ ”的必要不充分条件。
[巩固]已知直线 、 和平面 ，则 ‖ 的一个必要但不充分条件是 （ ）
（ ） ‖ 且 ‖ （ ） 且
（ ） 、 与 成等角 （ ） ‖ 且