关于二项式的几道题

1.1)原式=n^n+nC1*n^(n-1)+nC2*n^(n-2)+...+nC(n-2)*n^2+nC(n-1)*n^1+1-1=n^n+nC1*n^(n-1)+nC2*n^(n-2)+...+nC(n-2)*n^2+nC(n-1)*n^1
因为是看是否能被n^2整除 所以就看最后nC(n-1)*n^1就可以了(前面各项n^X 中x都≥2 肯定能被n^2整除)
nC(n-1)*n^1=nC1*n=n^2也能被n^2整除 所以得证

2)99^10-1=(100-1)^10-1=100^10-10C1*100^9*1+...-10C9*100*1+1-1
=100^10-10C1*100^9*1+...-10C9*100*1
前面都是100^2次方(或更大) 最后项是10*100=1000
所以该式能被1000整除

2.1)这个很好证明
由2项式展开第k+1项为:T(k+1)=(2n)Ck*x^(2n-k)*(-1/x)^k
=2nCk*x^(2n-k)*(-x)^(-k)得
常数项为2nCk*x^0*(-1)^(-k) 则2n-k-k=0 k=n
代进去 常数项为:2nCn*(-1)^n
2nCn=2n(2n-1)(2n-2)...(n+1)/n!=2n(2n-1)(2n-2)...(n+1)n(n-1)...3*2*1/(1*2*3*...*n)^2
将2,4,6,8,10...2n-2,2n中的2提出的2^n*1*2*3*...*n=2^n*n!
那么2nCn=(2n-1)(2n-3)...*3*2*1*2^n*n!/(n!)^2
所以常数项2nCn*(-1)^n=(2n-1)(2n-3)...*3*2*1*2^n/n!*(-1)^n
=[（-2）^n]*1*3*5*7……（2n-1）/n！得证

2)这道题目也很容易证
首先 展开一共2n+1项 所以中间项就是第n+1项
T(n+1)=2nCn*1^(2n-n)*x^n
2nCn在上一题中求得为(2n-1)(2n-3)...*3*2*1*2^n/n!
(我就偷懒1