两道高一数学题，急请帮忙！真的感谢！

来源：百度知道 编辑：UC知道 时间：2024/06/22 01:41:34
①(2x²+2kx+k)/4x²+6x+3<1对x∈R恒成立，求k的取值范围.（需解答过程）
②在△ABC中，3sinA+4cosB=6，4sinB+3cosA=1，则∠C是多少度？（提示答案是30°，但需要过程）
望会的朋友帮忙解答一下，不胜感激！

(2xx+2kx+k)/4xx+6x+3<1

4xx+6x+3>=3(x+1)^2+x^2>0对x∈R恒成立
(2xx+2kx+k)<4xx+6x+3
0<2xx+(6-2k)x+(3-k)
对x∈R恒成立
(6-2k)^2<4*2*(3-k)
(3-k)^2-2*(3-k)<0
(3-k)(1-k)<0
1<k<3

3sinA+4cosB=6
3cosA+4sinB=1
两式平方
9(sinA)^2+16(cosB)^2+24sinAcosB=36
9(cosA)^2+16(sinB)^2+24sinBcosA=1
9+16+24sin(A+B)=37
sin(A+B)=1/2
sinC=1/2

因为4x^2+6x+3恒大于0，所以有：
2x^2+2kx+k<4x^2+6x+3
2x^2+(6-2k)x+3-k>0
恒成立
△=(6-2k)^2-8(3-k)<0
k^2-4k+3<0
(k-3)(k-1)<0
1<k<3

2.

【解】两边平方
(3sinA＋4cosB)^2＝36
得9sin^2A +16cos^2B +24sinAcosB=36 ①

(4sinB＋3cosA)^2＝1
得16sin^2B +9cos^2A +24sinBcosA=1 ②

①+ ②
得：（9sin^2A +9cos^2A） +（16cos^2B+ 16sin^2B） +24sinAcosB+24sinBcosA=37

即 9+16+24sin(A+B)=37
所以sin(A+B)=1/2,
所以A+B=5π／6 或者π/6

若A+B=π／6，则cosA>√3/2

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