从任意一个无限长数列中必可找到一个单调的子列,高手来！

若数列是有界数列，由确界原理，有界数列必有收敛子列，设收敛点为a,在收敛子列中可构造子列bn,使bn属于U(a,1/n)且|b(n+1)-a|<|bn-a|,其中bn表示数列{bn}的第n项，b(n+1)表示第n+1项。得到的{bn}是收敛于点a且与点a的距离越来越近的一个数列。若{bn}中小于a的项有无限项，只要把这些项依在{bn}中的次序排列，得到符合题设的递增数列，同理，若{bn}中大于a的项有无限项，把这些项依在{bn}中的次序排列，得到符合题设的递减数列。
若数列是无界数列，即极限为无穷大，我们仍然可以按上面的方法，设原数列为{an}，在{an}中构造数列{bn},|bn|>n且|b(n+1)|>|bn|，则{|bn|}为无界递增数列。若{bn}中正项有无穷多个，则按其在{bn}中的次序构造数列{cn}，即为满足题设的无界递增数列，若{bn}中负项有无穷多个，按其在{bn}中的顺序构造数列{cn}，即为符合题意的无界递减数列。

参考：可以学一下《数学分析》和《实变函数》