我能跟公司要求签订无固定期限的合同吗？

不能 ，因为 新的劳动合同法上才有规定 ，能够签订无固定期限劳动合同的情况有 ：
用人单位与劳动者协商一致，可以订立无固定期限劳动合同。有下列情形之一，劳动者提出或者同意续订、订立劳动合同的，除劳动者提出订立固定期限劳动合同外，应当订立无固定期限劳动合同：
（一）劳动者在该用人单位连续工作满十年的；
（二）用人单位初次实行劳动合同制度或者国有企业改制重新订立劳动合同时，劳动者在该用人单位连续工作满十年且距法定退休年龄不足十年的；
（三）连续订立二次固定期限劳动合同，且劳动者没有本法第三十九条和第四十条第一项、第二项规定的情形，续订劳动合同的。
用人单位自用工之日起满一年不与劳动者订立书面劳动合同的，视为用人单位与劳动者已订立无固定期限劳动合同。

很明显你都不属于上述情况，所以，不能要求签订无固定期限劳动合同。

但是你从新的劳动法颁布之后，半年都没有签订合同，你的单位是违法操作的，可以要求经济补偿款的，如果你不想签的情况下

不能 建议你查下劳动合同法第十四条及第九十七条

签订无固定期限的合同
1.要求劳动者在该用人单位连续工作满十年的，注意是连续；
2.新劳动法生效后（2008年1月1日），用人单位自用工之日起满一年不与劳动者订立书面劳动合同的，视为用人单位与劳动者已订立无固定期限劳动合同
所以你的情况还不能签订无固定期限劳动合同