群论的问题

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对任何a属于KH，一定存在k属于K，h属于H，使得kh=a
于是h^(-1)k^(-1)属于HK
因为HK是G的子群
所以(h^(-1)k^(-1))^(-1)属于HK
而(h^(-1)k^(-1))^(-1)=kh=a
所以a属于HK
所以KH是HK的子集
反之，对任何b属于HK，一定存在h属于H，k属于K，使得hk=b
因为HK是G的子群
所以k^(-1)h^(-1)也属于HK
于是必存在h1属于H，k1属于K，使得k^(-1)h^(-1)=h1k1
于是两边取逆，得：hk=k1^(-1)h1^(-1)
而k1^(-1)h1^(-1)属于KH
所以b=hk属于KH
所以HK是KH的子集
于是HK=KH

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显然HK是G的子集。
对任何a、b属于HK
一定存在h1、h2属于H，k1、k2属于K，使得a=h1k1、b=h2k2
于是a*b^(-1)=h1k1k2^(-1)h2^(-1)
因为KH=HK，又k1k2^(-1)h2^(-1)属于KH
所以一定存在k属于K，h属于H，使得k1k2^(-1)h2^(-1)=hk
于是a*b^(-1)=h1hk属于HK
所以HK是G的子群。