正有理数a,b,c,d，已知a^4+b^4+c^4+d^4=4abcd,试求证a=b=c=d.

a^4+b^4+c^4+d^4=4abcd
a^4+b^4+c^4+d^4-4abcd=0
(a^4+b^4-2a^2b^2)+(c^4+d^4-2c^2d^2)+(2a^2b^2+2c^2d^2-4abcd)=0
(a^2-b^2)^2+(c^2-d^2)^2+2(a^2b^2-2abcd+c^2d^2)=0
(a^2-b^2)^2+(c^2-d^2)^2+2(ab-cd)^2=0
a^2-b^2=0
c^2-d^2=0
ab-cd=0
当a、b、c、d四个数同号时，
a=b=c=d

对正数，用不等式证是很好的途径
由均值不等式：
在a,b,c,d>0时
a^4+b^4+c^4+d^4>=4*四次根号下(a^4*b^4*c^4*d^4)=4abcd
由题意，不等式取等号
而该不等式取等号条件即为a=b=c=d

a^4+b^4+c^4+d^4-4abcd=0

a^4+b^4-2a^2b^2+c^4+d^4-2c^2d^2-4abcd+2a^2b^2+2c^2d^2=0

(a^2-b^2)^2+(c^2-d^2)^2+2(ab-cd)^2=0

a^2-b^2=0
c^2-d^2=0
ab-cd=0

当a、b、c、d四个数同号时，
a=b=c=d

a=b=c=d