能帮忙解一下这道高中数学题吗

来源：百度知道 编辑：UC知道 时间：2024/05/28 04:47:40
设f(x)室定义在R上的函数 且对任意实数x，y都有f(x+y)=f(x)+f(y),求证:1、f(x)是奇函数
2、若当x>0时，有f(x)>0，则f(x)在R上是增函数

(1)
令x=y=0
f(0)=f(0)+f(0)
所以
f(0)=0
令y=-x
f(x+y)=f(x)+f(y)
f(0)=f(x)+f(-x)=0
f(x)=-f(-x)
f(x)是奇函数.

(2)
当x>0,f(x)>0
x<0,-x>0
f(-x)>0
f(x)<0
又f(0)=0
设x1<x2
f(x1)-f(x2)<0
所以
f(x)在R上是增函数.

令x=y=0,f(x)=0
x=-y,f(x)=-f(-x)
f(x)是奇函数
设x1>x2
x1-x2>0,f(x1-x2)>0
f(x1-x2)=f(x1)+f(-x2)
=f(x1)-f(x2)>0
则f(x)在R上是增函数