求一个积分题目

来源：百度知道 编辑：UC知道 时间：2024/06/03 19:08:18
∫∫y^2dzdx,其中∑是曲面z=√1-x^2-y^2的上侧. (√表示根号)
书上答案是0,,我算算不像是0,麻烦给个详细的解答

答案就是0.

把曲面分为左右两部分：
∑1：z＝√(1－x^2－y^2)，y≥0，积分所使用的侧是右侧
∑2：z＝√(1－x^2－y^2)，y≤0，积分所使用的侧是左侧

∑1与∑2在zx面上的投影区域都是D：z^2＋x^2≤1，z≥0

∫∫(∑) y^2 dzdx
＝∫∫(∑1) y^2 dzdx + ∫∫(∑2) y^2 dzdx
＝∫∫(D) (1－z^2－x^2) dzdx － ∫∫(D) (1－z^2－x^2) dzdx
＝0