已知n阶矩阵A满足A2=KA (k不为零)试证:A相似于对角阵。
来源:百度知道 编辑:UC知道 时间:2024/05/21 15:49:55
楼上的解答不正确,k是一个特征值但怎么知道0就不是特征值呢。事实上A不一定满秩。
可以用最小多项式解决。由A2-KA=0知道x^2-kx=0是A的零化多项式。而最小多项式是它的因式所以最小多项式为x或x-k或x*(x-k)。
最小多项式为x时,A=0.
为x-k时,A=kE,是对角阵。
为x(x-k),(k不为0)时,根据可对角化当且仅当最小多项式是不同的一次因式的乘知A可对角化。
考虑A的列向量a1,a2,...,an。
A^2=kA,如果只看第一行的话我们有a1*A=k*a1,也就是说a1是A的一个特征向量。
同理a2,...,an也是A的特征向量,而且特征值为非0数k,所以A是满迭的。
A^(-1)*A*A=A^(-1)*k*A=kE,根据相似定义可以知道A相似于对角阵kE。
如果n阶矩阵A满足A2=A,则称A是幂等矩阵。试证幂等矩阵的特征值只能是0或1。
设n阶矩阵A满足A平方=A, E为n阶单位矩阵,证明r(A)+r(A-E)=n.
已知n阶矩阵A的特征值为λ0。
已知an(n为下标)=2^n+3^n,bn(n为下标)=a(n+1)(n+1为下标)+k×an(n为下标),
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已知a、b、c满足a2+b2=1,b2+c2=2,c2+ a2=2,则ab+bc+ca的最小值为( )
若n阶方阵A的伴随矩阵为A*,证明|A|=0
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已知{An}满足An+1=An-An-1(n〉=2),A1=a,A2=b,则A100=?