刷T求答案 一直在线守(含绝对值的不等式问题)

来源：百度知道 编辑：UC知道 时间：2024/06/17 07:50:52
已知a,b,c,d∈R,且a^2+b^2=m^2,c^2+d^2=n^2,(m>0,n>0),求证:|ac+bd|<=0.5(m^2+n^2) 过程 谢谢

由柯西不等式知:

(a^2+b^2)(c^2+d^2)>=(ac+bd)^2

又因为a^2+b^2=m^2,c^2+d^2=n^2 (m>0,n>0)，

所以 (mn)^2>=(ac+bd)^2

开方可得（因为m,n为正数） mn>=|ac+bd|

又由基本不等式（均值不等式）知

1/2(m^2+n^2)>=mn

所以|ac+bd|<=1/2(m^2+n^2)

等号成立当且仅当m=n，bc=ad，也就是说a=c,b=d。