求不等式最大值

就是一个柯西不等式。(x^2+y^2)×(m^2+n^2)≥(mx+ny)^2.所以mx＋ny最大值为√ab。当且仅当nx＝my时等号成立。

x^2+y^2+m^2+n^2=a+b
x^2+m^2>=2mx
y^2+n^2>=2ny
a+b>=2(mx+ny)
mx+ny<=(a+b)/2
mx+ny的最大值(a+b)/2

法一：由cauchy不等式
(mx+ny)^2<=(m^2+n^2)(x^2+y^2)=ab
所以mx+ny最大值=根号(ab)
法二：三角换元，令x=√asinp,y=√acosp,m=√bsinq,n=√bcosq
mx+ny=√ab(sinpsinq+cospcosq)=√abcos(p-q)<=√(ab)