1、 证明：以x为未知数的方程：

∵a(b-c)x^2+b(c-a)x+c(a-b)=0有等根
∴Δ＝[b(c-a)]^2-4[a(b-c)][c(a-b)]=0
a^2b^2+b^2c^2-2acb^2
-4bca^2+4acb^2+4a^2c^2-4abc^2=0,
a^2b^2+b^2c^2+2acb^2-4ac(ab+bc)+4a^2c^2=0
(ab+bc)^2-4ac(ab+bc)+4a^2c^2=0
(ab+bc-2ac)^2=0
∴ab+bc-2ac=0,
ab+bc=2ac，两边同除以abc得：(1/c)+(1/a)=2/b,
∴2/b=1/a+1/c
∴1/a,1/b,1/c成等差数列

1/a,1/b,1/c成等差数列推出a(b-c)x2+b(c-a)x+ c(a-b)=0 有等根
只要算Δ=0即可!

有等根则判别式等于0，即[b(c-a)]^2-4a(b-c)c(a-b)=0。
b^2(c-a)^2=4ac(b-c)(a-b)
两边同时除以a^2*b^2*c^2，则
(1/c-1/a)^2=4(1/c-1/b)(1/b-1/a)
即
1/c^2-2/ac+1/a^2=4(1/bc-1/b^2-1/ac+1/ab)
4/bc-4/b^2+4/ab-(1/c^2+2/ac+1/a^2)=0
4/b^2-4/b(1/c+1/a)+(1/c+1/a)^2=0
(2/b-(1/c+1/a))^2=0
因此2/b=1/c+1/a，证毕。