一道高二数学题(13)

地球人都知道是反证法。
假设三式>1/4

然后就是关键了。这次选择乘

abc(1-a)(1-b)(1-c)

要求来讲是此式>1/64

而a(1-a)b(1-b)c(1-c)=<((1-a+a)/2)^2*(b...)*(c...)=1/64

矛盾

看上去我的证法简单有创造力。给我分吧。

用反证法来证明：
假设(1-a)b，(1-b)c，(1-c)a都大于1/4，
由于a，b，c∈(0，1)，
所以
√[(1-a)b]>1/2，
√[(1-b)c]>1/2，
√[(1-c)a]>1/2，
即√[(1-a)b]+√[(1-b)c]+√[(1-c)a]>3/2············①
又因为
√[(1-a)b]≤(1-a+b)/2，·············②
√[(1-b)c]≤(1-b+c)/2，
√[(1-c)a]≤(1-c+a)/2，
所以√[(1-a)b]+√[(1-b)c]+√[(1-c)a]≤3/2，
这与①式：√((1-a)b)+√((1-b)c)+√((1-c)a)>3/2矛盾。
所以假设不成立，
故(1-a)b，(1-b)c，(1-c)a中至少有一个不大于1/4。

注：本题用到了以下的基本不等式：
由于(√a-√b)^2≥0，展开得：a+b≥2√ab，即：√ab≤(a+b)/2。
②式利用了该基本不等式。