3道 柯西不等式 和 平均不等式 的

1.数形结合。
y^2-2ax<0 ，抛物线右边。
x^2+y^2-2ax>0 ，圆外面。
注意到圆和抛物线“相切”（其实只用说明只有一个交点即可。）
所以答案为：抛物线出去圆。（注意下边界不要出错）

2。即考虑[x/y^2+z^2)+(y/x^2+z^2)+(z/y^2+x^2]）*根号(x^2+y^2+z^2)
的最小值。
由于是齐次式，不妨假设x^2+y^2+z^2=1
于是成为：在条件x^2+y^2+z^2=1 下，求 [x/(1-x^2)+ y/(1-y^2)+ z/(1-z^2)]的最小值。这是很熟悉的：

注意到 x(1-x^2)在区间（0，1）上的最大值在 根号（3）／3 处取到：
2*〔x(1-x^2)〕^2=(2x^2)(1-x^2)(1-x^2)<=[2]^3/3等号在 根号（3）／3 处取到。

于是 x/(1-x^2)＝x^2/[x*(1-x^2)]>= 3倍根号(3)/2 * x^2
同理易得其他。最后由x^2+y^2+z^2=1 得出答案：3倍根号(3)/2

3。很常规的思想：利用xy<=(x^2 + y^2)/2
于是原式>=2/3 *[x^2/(y^2 + z^2)+ y^2/(x^2 + z^2)+ z^2/(y^2 + x^2)]

考虑x^2/(y^2 + z^2)+ y^2/(x^2 + z^2)+ z^2/(y^2 + x^2)的最小值：
后面是老题：由于其次式，不妨假设x^2+y^2+z^2=1。
于是上式=1/(y^2 + z^2)+ 1/(x^2 + z^2)+ 1/(y^2 + x^2)-3
注意到[1/(y^2 + z^2)+ 1/(x^2 + z^2)+ 1/(y^2 + x^2)][(y^2 + z^2)+(x^2 + z^2)+ (y^2 + x^2)]>=9 (这就是你所谓的柯西不等式)
于是1/(y^2 + z^2)+ 1/(x^2 + z^2)+ 1/(y^2 + x^2)>= 9/2
于是得