计算量比较大的双曲线问题

来源：百度知道 编辑：UC知道 时间：2024/06/10 14:09:50
若直线y=kx+m(k不=0，m不=0)与双曲线x^2/3-y^2=1交于不同的2点M，N，且线段M，N的垂直平分线过点A（0，-1），求实数m的取值范围

要求全过程,计算量比较大,高手帮忙算下

解：x^2-3y^2=3
x^2-3(k^2x^2+2mkx+m^2)=3
(3k^2-1)x^2+6mkx+3m^2+3=0
x有2解，所以△>0
△=36m^2k^2-36m^2k^2+12m^2-36k^2+12
=12(m^2-3k^2+1)>0
m^2-3k^2+1>0

根据韦达定理，x1+x2=-6mk/(3k^2-1)
所以 y1+y2=kx1+m+kx2+m
=k(x1+x2)+2m
=-6mk^2/(3k^2-1)+2m
=(-6mk^2+6mk^2-2m)/(3k^2-1)
=-2m/(3k^2-1)
所以MN中点(-3mk/(3k^2-1), -m/(3k^2-1)
MN斜率为k
MN中垂线斜率为-1/k
MN中垂线方程：y+m/(3k^2-1)=(-1/k)[x+3mk/(3k^2-1)]
代入A(0, -1)
-1+m/(3k^2-1)=-3m/(3k^2-1)
4m/(3k^2-1)=1
m=(3k^2-1)/4≠0, k≠±√3/3
△=m^2-3k^2+1=m^2-4m>0
m>4 或者 m<0

刚计了一下，但现在没时间计，过两天就给你答案！