高分求极限，望高手详解

来源：百度知道 编辑：UC知道 时间：2024/06/08 17:56:17
lim [1+x^n+(x^2/2)^n]^(1/n)
n->无穷
好像是用夹逼原则的，望高手赐教！

我的做错了，不过03011956做的也不全对。(03011956在x=2的取值上有问题)
正确答案是：
当x属于[0,1]时,等于1;
当x属于(1,2]时,等于x;
当x属于(2,正无穷大)时,等于x^2/2.

/*************错误解答过程，请不要犯和我一样的错误*************
先对[1+x^n+(x^2/2)^n]^(1/n) 求对数
得e^{1/n*ln[1+x^n+(x^2/2)^n]}
分析指数1/n*ln[1+x^n+(x^2/2)^n]
1/n*ln[1+x^n+(x^2/2)^n]
=1/n*ln{[2+2x^n+x^2n]/2}
=1/n*{ln1/2+ln[1+(1+2x^n+x^2n)]}
=1/n*{ln1/2+ln[1+(1+x^n)^2]}

当n->无穷时，ln[1+(1+x^n)^2]->ln[(1+x^n)^2]=2ln[1+x^n]
当x属于[0,1)时，2ln[1+x^n]->0;1/n*{ln1/2+ln[1+(1+x^n)^2]}->0
当x=1时，2ln[1+x^n]=2ln2；=1/n*{ln1/2+ln[1+(1+x^n)^2]}->0
当x属于(1,正无穷大)时,2ln[1+x^n]->2nlnx;1/n*{ln1/2+ln[1+(1+x^n)^2]}->2lnx

所以，
当x属于[0,1]时，
[1+x^n+(x^2/2)^n]^(1/n)
=1/n*{ln1/2+ln[1+(1+x^n)^2]}
=e^0=1
当x属于(1,正无穷大)时,
[1+x^n+(x^2/2)^n]^(1/n)
=e^{1/n*ln[1+x^n+(x^2/2)^n]}
=e^(2lnx)=x^2
***************************************************************/

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