设x1 x2 ……xn属于R+ x1+x2+……+xn=1求证

这道题用琴生不等式最快
由题意 0<x1,x2,...,xn<1
令f(x)=x^2/(x+1) 0<x<1

则f'(x)=1-1/(x+1)^2

f''(x)=2/(x+1)^3>0

故f(x)为凸函数，由琴生不等式 有

不等式左边=f(x1)+f(x2)+...+f(xn)>=n[f((x1+x2+...+xn)/n)]

=nf(1/n)=1/(n+1)

当且仅当x1=x2=...=xn=1/n时取等号

故不等式成立

琴生不等式：（注意前提、等号成立条件）

设f(x)为凸(凹)函数，则f[(x1+x2+……+xn)/n]<=(凹就是>=)[f(x1)+f(x2)+……+f(xn)]/n,称为琴生不等式

凸函数 就是 f''(x)在定义域内恒为非负的函数

凹函数反之