求证不等式 2lg2+3lg3...+(n-1)lg(n-1)<=(1/2)n*nlgn-(1/8)n*n

数学归纳法证明
当n=2，左=0
右=2lg2-0.5=0.10205999132796239042747778944899，成立
假设n=k成立，2lg2+3lg3...+(k-1)lg(k-1)<=(1/2)k*klgk-(1/8)k*k
当n=k+1时，2lg2+3lg3...+(k-1)lg(k-1)+klgk
<=(1/2)k*klgk-(1/8)k*k+klgk<=(1/2)(k+1)*(k+1)lg(k+1)+(k+1)lg(k+1)
即对一切自然数都成立

首先n=2,3时容易验证.设n=k时不等式成立,则n=k+1时,
只要证klgk+(1/2)k*klgk-(1/8)k*k<=(1/2)(k+1)(k+1)lg(k+1)-(1/8)(k+1)(k+1).只要证明(1/8)(2k+1)<=(1/2)lg(k+1)+(1/2)(k*k+2k)(lg(k+1)-lgk).利用函数多项式展开知ln(k+1)-lnk>=1/k-1/(2k^2)=(2k-1)/(2k^2)因此右边大于等于(2k-1)(k+2)/(4k*ln10)>(2k-1)/12.因此当k>=3时必然成立

如果你学过定积分，就不成问题。
[1/2xx(lnx-1/2)]′=xlnx
所以2ln2+3ln3...+(n-1)ln(n-1)<{2,n}∫(xlnx)dx-1/2nlnn=1/2nnlnn-1/4nn-1/2nlnn-2(ln2-1/2)
两边乘以lg(e)≈0.4343进行换底得
2lg2+3lg3...+(n-1)lg(n-1)<=(1/2)n*nlgn-(1/4lge)n*n-1/2nlgn-2lg2+lge
=(1/2)n*nlgn-(1/8)n*n+1/4(1/2-lge)n*n-1/2nlgn-2lg2+lge

余项1/4(1/2-lge)n*n-1/2nlgn-2lg2+lge<≈0.01643n*n-0.5nlgn+0.16776
当n>3时为正?故原不等式在n>3时成立。(有问题