，设点B（a,d=f(a)的表达式

1.设抛物线y^2=2x.设点A（2^3，0），求抛物线上距离点A最近的点P的坐标,求此最近距离.

解 设M(x,y)是抛物线y^2=2x上的任意一点,点M(x,y)到点A（2^3，0）的距离记为d，则有
d^2=(x-2^3)^2+(y-0)^2=(x-8)^2+2x=x^2-14x+64
=(x-7)^2+15>=15,
d>=√15.
因为当x=7时,y=√14,或y=-√14,所以,所求点P的坐标为(7,√14)或(7,-√14),最近距离为=√15.

2.设点B（a,O)求抛物线上的点到点B距离的最小值d,并写出d=f(a)的表达式.
解 (1)当a<=0时,距离的最小值d=-a;
(2)当a>0时,
设M(x,y)是抛物线y^2=2x上的任意一点,点M(x,y)到点A（2^3，0）的距离记为r，则有
r^2=(x-a)^2+(y-0)^2=x^2+(2-a)x+a^2
=(x+1-a/2))^2+a^2-(1-a/2)^2,
(i)当0<a<2时,r^2>=a^2,(当x=0时等号成立),即d=a;
(ii)当a>=2时,r^2>=a^2-(1-a/2)^2=(3/4)a^2+a-1,(当x=a/2-1时等号成立),即d=√((3/4)a^2+a-1).
综上所述,f(a)是一个分段函数,表达式如下:
f(a)=-a,(a<=0);
f(a)=a,(0<a<2);
f(a)=√((3/4)a^2+a-1),(a>=2).