立方和公式证明问题

来源：百度知道 编辑：UC知道 时间：2024/05/20 07:47:47
1^3+2^3+……n^3=[n(n+1)/2]^2
为什么?请证明..用因式分解法

解：

当n=2时，
1^3+2^3=(1+2)^2=9
命题成立

设当n=k时,(k为正整数且k>=2,)命题成立，
即1^3+2^3+…+k^3=（1+2+…+k)^2
则当n=k+1时，
1^3+2^3+…+k^3+（k+1）^3
=（1+2+…+k)^2+（k+1）^3
=[（1+k）k/2]^2+（k+1）^3
=（k+1）^2（k^2+4k+4）/4
=（k+1）^2（k+2)^2/4
=[（k+1）（k+2)/2]^2
=[1+2+…+k+(k+1)]^2
命题亦成立

由归纳法可知，原命题在n为正整数且n>=2时成立,
又n=1时，命题显然成立，
因此原命题在n为正整数时均成立