如图三棱锥P－ABC中AC=BC, ACB=90°, P

来源：百度知道 编辑：UC知道 时间：2024/09/21 20:12:51
如图三棱锥P－ABC中AC=BC, ACB=90°, P
AP=BP=AB,PC⊥AC
1）求证PC⊥AB
2）求二面角B－AP－C 的大小
3）求点C到平面APB的距离

1.据题意，三角形APC是直角三角形，所以AP^2=AC^2+PC^2
又因为 AC=BC,AP=PB,
所以 PB^2=PC^2+BC^2 即PC⊥BC
又因为 PC⊥AC ，且AC、BC 相交，所以 PC⊥面ABC
因此 PC⊥AB

2.作BD⊥PA交PA于D，连结CD
由第一问，PC=PC,PA=PB,AC=BC 所以 三角形APC 全等于 三角形BPC，
因此 CD⊥AP,并且 CD=BD
又因为AP=BP=AB，所以三角形APB是正三角形，设边长AP=a
则D为AP中点，且角BDC即为所求二面角

BD=CD=(√3/2)a

又因为 在直角三角形ACB中，AC=BC,所以 BC=AB/√2=(√2/2)a

利用余弦定理，cos角BDC=(BD^2+CD^2-BC^2)/2BD*CD=1/3
所以 角BDC=arccos1/3 即为所求二面角

3。利用体积相等解答.设AP=BP=AB=a，点C到平面APB的距离为h,三角形APB面积为S
三棱锥的体积 V=(1/3)AC*BC*PC=（1/3)Sh
其中 AC=BC=(√2/2)a,PC=(√2/2)a,S=(√3/4)a^2
代入 可得 h=√6/3a

ps：这一问少条件，所以只能先设一个边

。。。。。。。。这题。。。。。图画出来了。。。答案也就出来了。。。。