UC知道求解 函数 单调性
来源：百度知道 编辑：UC知道 时间：2024/05/30 23:50:42
设a为实数，f(x)=lg(ax-1)-lg(x-1)在[10,+∞)上递增，求a的范围。
以下是我的解答，不知错在哪里？
（如果你要是觉得自己做还快一些的话，烦请直接些你的过程吧。）
f(x)=lg( (ax-1)/(x-1) )
即f(x)=lg[ax^2-(a+1)x+1] (x≠1)
∵f(x)在[10,+∞)上递增
∴ax^2-(a+1)x+1在此区间也应递增
若a<0,则不能满足
若a=0，则ax^2-(a+1)x+1=-x+1在R上递减亦不能满足
若a>0，则对称轴x= (a+1)/(2a) ≤10
解得a≥1/19
以下是我的解答，不知错在哪里？
（如果你要是觉得自己做还快一些的话，烦请直接些你的过程吧。）
f(x)=lg( (ax-1)/(x-1) )
即f(x)=lg[ax^2-(a+1)x+1] (x≠1)
∵f(x)在[10,+∞)上递增
∴ax^2-(a+1)x+1在此区间也应递增
若a<0,则不能满足
若a=0，则ax^2-(a+1)x+1=-x+1在R上递减亦不能满足
若a>0，则对称轴x= (a+1)/(2a) ≤10
解得a≥1/19
你上面的解答过程没有错，但有一个条件没有考虑，就是该函数的定义域，必须要保证当x>=10时，ax²-(a+1)x+1>0
所以有不等式：100a-10(a+1)+1>0
解这个不等式，然后与a>=1/19取交集就得到a的取值范围。
f(x)=lg((ax-1)/(x-1)) (*)
首先满足ax-1>0(x>=10),ax>1,a>1/x,1/x在10到正无穷上是递减,故a>1/10;
其次,对于(*)式,满足了上述ax-1>0之后,要使得整个函数在10到无穷上递增,必须使得(ax-1)/(x-1)在10到无穷上是递增函数(因为对于函数lgx,在0到无穷上递增);(ax-1)/(x-1)=a+(a-1)/(x-1),而影响f(x)递增性的就在于(a-1)/(x-1),注意到在10到正无穷上,1/(x-1)递减,故要使得f(x)递增,a-1<0,这样就使得(a-1)/(x-1)是增的,即a<1;
综上,1/10<a<1.
f(x)=lg( (ax-1)/(x-1) )
即f(x)=lg[ax＾2-(a+1)x+1] (x≠1)
上面是除到下面怎么变成了乘，f(x)的解析式不是变了吗?
下面是我的
这是一个复合函数,它的单调性用规律"同则增,异则减"
外层函数是以10为底的对数函数是增
所以U=(ax-1)/(x-1)在[10,+∞)上递增
U=a+(a-1)/(x-1)
又∵T=1/(x-1)在[10,+∞)上递减
∴a-1＜0
∴a＜1
又∵当X∈[10,+∞)时U＞0
∴a＞1/10
综上:1/10＜a＜1