高二有难度的不等式证明(提示用分析法)

有难度……

这道题的右面应该还有一组不等式

可以作为结论记住以后不一定会用到

原式可转为
（a-b)²/8a<(√b-√a)²/2<（a-b)²/8b
因a>b>0,设y=√b，x=√a(x>y)
<=>（y²-x²）/2x<y-x<(y²-x²)/2y
证明：（y²-x²）/2x<y-x
<=>x+y<2x
<=>y<x，故不等式左边成立
证明：y-x<(y²-x²)/2y
<=>2y<x+y
<=>y<x故不等式右边也成立

证明:

要证明:
(a-b)的平方/8a<(a+b)/2-根号下ab

两边都乘2得a-b)的平方/4a<(a+b)-2*根号下ab

等价于（根号a-根号b）^2*（根号a+根号b）^2/4a<（根号a-根号b）^2

消去（根号a-根号b）^2且两边乘4a得

（根号a+根号b）^2<4a………………（**）

因为a>b>0

根号a+根号b<2*根号a,则（**）式显然成立

证毕

用完全平方公式倒
一下就出来

直接设f(x)是关于b的函数关系式
设f(x)=(x+a)/2-√ax-(a-x)^2/8a
f'(x)=3/4-〔1/2√(a/x)+x/4a〕
=3/4-〔1/4√(a/x)+1/4√(a/x)+x/4a〕
≤3/4-3*〔1/4√(a/x)+1/4√(a/x)+x/4a〕^(1/3)
=0
当且仅当1/4√(a/x